第22屆足球世界杯已落下帷幕，這一屆世界杯最大的贏(yíng)家是阿根廷，是梅西，更是億萬(wàn)期盼梅西封神的球迷。將近一個(gè)月的比賽跌宕起伏、精彩紛呈。球賽開(kāi)始前和比賽期間，預測結果更是成為球迷們的最大興趣。世界上的各大媒體，電視臺，也紛紛加入到預測中來(lái)。我雖然算不上一個(gè)具有專(zhuān)業(yè)水準的球迷，但也禁不住周邊朋友們熱鬧場(chǎng)面的誘惑，對多場(chǎng)比賽結果進(jìn)行預測。

        預測的最大樂(lè )趣是增加了看球的樂(lè )趣，本來(lái)是一場(chǎng)與自己無(wú)關(guān)的比賽，因為有了預測，就特別期望自己預測正確。而且一旦結果與預測一致，那種成功的喜悅，很難用語(yǔ)言來(lái)形容。

        預測足球比賽結果是一門(mén)技術(shù)活，首先要對球隊有比較深入的了解，包括球員構成、綜合能力、歷史戰績(jì)、世界排名、當家球星、球員狀態(tài)、對手情況等，了解越多，預測似乎就越準確。但實(shí)際情況往往出乎意料甚至大相徑庭。以牛津大學(xué)預測為例，他們用自己的數學(xué)模型計算出來(lái)的預測結果如圖1所示。

圖1 牛津大學(xué)給出的預測模型

        從圖1可以看出，盡管引入了非常復雜的數學(xué)計算，并對各隊的歷史數據，交戰結果做了詳細的分析，但預測結果卻不盡人意。小組賽也就有一半預測對了勝負，其中進(jìn)入決賽的兩支隊伍都錯了。其他很多預測機構也大致相同。

        其實(shí)，影響比賽結果的因素很多，球隊實(shí)力固然非常重要，但進(jìn)入32強的球隊大部分實(shí)力都不弱，尤其是進(jìn)入淘汰賽階段更是如此。這時(shí)候，球隊的戰術(shù)安排，球員臨場(chǎng)狀態(tài)、取勝欲望、團隊配合等方面就顯得尤為重要。此外，運氣也是比賽的一部分，并且往往成為左右比賽結果的非常重要的因素。

        足球比賽既考驗雙方的能力，也是對雙方隊員面對面比拼時(shí)心理素質(zhì)的檢驗。盡管結果不可預知，但其中卻蘊含有嚴謹的數學(xué)原理。今天我們就談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題。

        大家知道，概率論是解決我們日常生活很多問(wèn)題的重要數學(xué)理論。越來(lái)越多的足球預測，都是以概率論作為基礎進(jìn)行的。上述牛津大學(xué)的預測也是基于概率論的。但概率論如何運用，卻是有很多講究。

        一般來(lái)說(shuō)，在一個(gè)非受限空間，一個(gè)獨立事件發(fā)生的概率總是符合正態(tài)分布的。其定義是：若隨機變量X服從一個(gè)位置參數為μ、尺度參數為σ 的概率分布，且其概率密度函數為：

        則這個(gè)隨機變量就稱(chēng)為正態(tài)隨機變量，正態(tài)隨機變量服從的分布就稱(chēng)為正態(tài)分布，記作X~N（μ，σ2），讀作X服從N（μ，σ2），或X服從正態(tài)分布。圖2是正態(tài)分布分布密度函數曲線(xiàn)圖。

圖2 正態(tài)分布函數曲線(xiàn)（來(lái)源于網(wǎng)絡(luò )）

        當實(shí)際發(fā)生概率很小時(shí)，我們稱(chēng)其為小概率事件，從標準概率分布圖中可以看出，位于區間（-3σ，3σ）以外的概率小于0.2%。所以，在很多場(chǎng)合下，就不予考慮。比如，我們在物流系統中采用稱(chēng)重法來(lái)檢驗圖書(shū)揀選的準確性時(shí)，就是選取了這一標準。在很多工業(yè)場(chǎng)合，標準會(huì )進(jìn)一步提高，比如我們常說(shuō)的6σ檢驗標準，就要求達到（-4.5σ，4.5σ）范圍，其精確度將達到3.44ppm（即百萬(wàn)分之三點(diǎn)四四）。

        再回過(guò)頭來(lái)看世界杯。如何運用數學(xué)原理進(jìn)行比賽的預測呢？這是一個(gè)比較復雜的問(wèn)題。如果單就一場(chǎng)球來(lái)看，其實(shí)就是實(shí)力對比說(shuō)了算，作為一個(gè)獨立事件，沒(méi)有參考數據，很難做出準確預測。比如德國對日本，一般情況下，大家預測都認為日本會(huì )輸。但是要進(jìn)一步定義輸的概率和輸的比分，就比較復雜了。這就牽涉到一個(gè)概率問(wèn)題。比如說(shuō)德國輸的概率，其實(shí)我們可以讓他們踢1000場(chǎng)球，看看比分會(huì )如何分布，這樣結果就出來(lái)了。但實(shí)際上做不到。因為即使集中踢1000場(chǎng)，這個(gè)結果也是有問(wèn)題的，它與我們擲1000次硬幣的情況有很大不同。因為比賽受到人為的干擾。其結果與自然發(fā)生的有出入。而實(shí)際上，集中踢1000場(chǎng)在時(shí)間上也沒(méi)有可能。所以，我們在預測一場(chǎng)球時(shí)，就顯得很困難，事實(shí)上因為事件的隨機性而變得無(wú)法預測。如果我們假設德國和日本踢1000場(chǎng)球的結果是600勝，300平，100負，這一結果對指導預測其實(shí)幫助不大，但如果聯(lián)系到歷史的比賽，我們還是會(huì )做出比較可信的預測。另一方面，我們把一場(chǎng)球放到一個(gè)系統中看，將會(huì )又是一番景象。比如我們將德國對日本比賽放到一個(gè)大的空間，如世界杯大賽這個(gè)環(huán)境看，德國屬于第一梯隊，日本屬于第三梯隊，這樣看的樣本空間就大得多。因為有大量的第一梯隊與第三梯隊比賽的樣本可供參考。我們可以從這些歷史樣本中得出一些有用的結論，如雙方歷史上的勝率，本屆已經(jīng)完成的比賽的情況等，從而指導預測的結果。

        在小組賽期間，我們知道，每個(gè)小組內的強弱還是比較分明的。這樣大家的預測總體來(lái)說(shuō)準確性要高一些，這是我們應用概率論的基礎。但另一方面，我們也要看到，比賽結果還是有一定比例的場(chǎng)次出乎大家的意料之外。比如亞洲球隊的爆發(fā)，日本連勝德國和西班牙，使得德國最終小組未能出線(xiàn)。開(kāi)始時(shí)，很多中國球迷擔心亞太區球隊會(huì )被剃光頭，但事實(shí)上，不僅有3支球隊（含澳大利亞）順利出線(xiàn)，而且每支球隊都有上佳表現。對此，我開(kāi)始就大膽提出兩個(gè)假設：第一是亞洲球隊必定會(huì )有球隊進(jìn)入第二輪；第二是比賽必定會(huì )有冷門(mén)產(chǎn)生。通過(guò)對各小組進(jìn)行分析，首先把出線(xiàn)的球隊寄托在日本、韓國身上，并將日本對德國、韓國對西班牙、沙特對阿根廷三場(chǎng)比賽定義為最容易爆冷的比賽。其中之所以定義沙特對阿根廷會(huì )爆冷，則基于阿根廷是奪冠大熱門(mén)的假設，并且其此前已經(jīng)35場(chǎng)不敗的記錄，已經(jīng)平了世界紀錄。概率論的理念就是：阿根廷即使要破世界紀錄，也只會(huì )破一點(diǎn)點(diǎn)（小概率事件），也就  是說(shuō)最多再贏(yíng)1~2場(chǎng)；阿根廷要想奪冠，就不能在淘汰賽輸球，小組賽輸球是其唯一機會(huì )。因此，其輸給沙特的理由最充分（第一場(chǎng)可能性最大）。比賽的結果印證了這一猜想。

        到了淘汰賽階段，大家對預測英國和法國比賽產(chǎn)生分歧。認為兩隊水平相當，英國更勝一籌。但實(shí)際過(guò)程看，是英國幾乎沒(méi)有希望。但既然是預測，邏輯上要有一致性才行。很多機構預測法國和巴西爭奪冠軍，這是有一定道理的，事實(shí)上要做到這一點(diǎn)，兩隊在淘汰賽中，它幾乎就不可能會(huì )輸。要怎么樣才會(huì )輸呢？需要爆冷才會(huì )輸。我們知道，在世界杯上，爆冷是有其必然性的。從歷史數據看，總會(huì )有一定比例的比賽會(huì )爆冷，有些還是大冷門(mén)，這就不是小概率事件了。法國輸給英國根本就不算冷門(mén)，法國只有輸給像澳大利亞這樣的隊伍才是大冷門(mén)。另一邊就不同了，巴西對克羅地亞，結果是巴西爆冷出局；西班牙對摩洛哥，同樣是西班牙爆冷出局；到了葡萄牙對摩洛哥，其實(shí)已經(jīng)不是爆冷了，葡萄牙隊內出現嚴重問(wèn)題，才使得摩洛哥一舉擊敗葡萄牙，挺進(jìn)4強。

        其實(shí)，后面的4場(chǎng)比賽，結果早就失去懸念。盡管他們的能力差異在毫厘之間，但再爆冷的幾率已經(jīng)很低了。其一是克羅地亞和法國進(jìn)入決賽，這幾乎是不可能的結果，因為這種重復上屆比賽結果的可能性微乎其微，歷史上只有一次，而且克羅地亞水平本來(lái)就有限，打敗巴西，進(jìn)入4強已經(jīng)是超水平發(fā)揮。其二是梅西封王眾望所歸，4次沖擊冠軍，無(wú)果而終，本屆比賽，將是梅西最后的機會(huì )。梅西占盡了天時(shí)地利人和。人們無(wú)法想象沒(méi)有獲得世界杯的梅西，會(huì )如何與其球王身份相匹配。第三是法國衛冕也是難上加難。試問(wèn)，世界上除了巴西衛冕成功過(guò)一次外，還有誰(shuí)能獲得這份殊榮？以法國足球的底蘊，根本不可能達到這一高度。

        所以，同樣是概率論的應用，在臨場(chǎng)操作時(shí)應該從多方面考慮，而不能僅僅局限于一個(gè)維度。比如，預測決賽會(huì )不會(huì )出現帽子戲法這一事件，有幾個(gè)因素支持這一預測，第一是全部21屆比賽，居然出現了52個(gè)帽子戲法，平均每屆2.47個(gè)，本屆比賽還只有1個(gè)，這是不正常的；第二，從決賽的氛圍來(lái)看，從兩隊的風(fēng)格來(lái)看，從球星的能力和機會(huì )看，完全是有可能的，并且可能是大概率事件。

        世界上的事情，往往都包含有一定的數學(xué)原理，被數學(xué)原理所制約。但即使如此，由于未來(lái)的不確定性仍然使得預測不可能百分之百準確，預測歸根到底是一種猜測，它不代表結果的確定性。我們知道，再小的概率也是可能發(fā)生的，但如果我們明白背后的邏輯，將會(huì )使得猜測準確性更高。足球比賽尤其如此。因為，每場(chǎng)比賽雖然時(shí)間很長(cháng)，但進(jìn)攻到禁區并且獲得得分的機會(huì )卻不多。所謂的偶然性就成為左右比賽結果的重要因素。強隊如果沒(méi)有抓住機會(huì )，反而被弱隊抓住寶貴的機會(huì )，結果就會(huì )逆轉，這也是足球最具有魅力的地方。當然，強弱如果是一邊倒的情況，所謂的偶然性基本是不可能發(fā)生的。

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